Понятие модели и моделирования. Случайные процессы с независимыми приращениями
По способу отражения свойств объекта (по возможности реализации) модели классифицируются на предметные (реальные, материальные) и абстрактные (мысленные, информационные – в широком смысле). В узком смысле под информационными понимаются абстрактные модели, реализующие информационные процессы (возникновение, передачу, обработку и использование информации) на компьютере.
Предметные модели представлены реальными объектами, воспроизводящими геометрические, физические и другие свойства моделируемых систем в материальной форме (глобус, манекен, макет, муляж, каркас и др.). Реальные модели делят на натурные (проведение исследования на реальном объекте и последующая обработка результатов эксперимента с применением теории подобия) и физические (проведение исследования на установках с аналогичными изучаемому процессами, которые сохраняют природу явления и обладают физическим подобием).
Абстрактные модели позволяют представлять системы, которые трудно или невозможно моделировать реально, в образной или знаковой форме. Образные или наглядные модели (рисунки, фотографии) представляют собой наглядные зрительные образы, зафиксированные на материальном носителе информации (бумага, плёнка). Знаковые или символьные модели представляют основные свойства и отношения моделируемого объекта с использованием различных языков (знаковых систем), например, географические карты. Вербальные модели – текстовые – используют для описания объектов средства естественного языка. Например, правила дорожного движения, инструкция к прибору.
Математические модели – широкий класс знаковых моделей, использующих математические методы представления (формулы, зависимости) и получения исследуемых характеристик реального объекта. Назовём некоторые разновидности математических моделей. Дескриптивные (описательные) – констатируют фактическое положение дел, без возможности влияния на моделируемый объект. Оптимизационные – дают возможность подбирать управляющие параметры. Игровые – изучают методы принятия решений в условиях неполной информации. Имитационные – подражают реальному процессу.
По цели использования модели классифицируются на научный эксперимент , в котором осуществляется исследование модели с применением различных средств получения данных об объекте, возможности влияния на ход процесса с целью получения новых данных об объекте или явлении; комплексные испытания и производственный эксперимент , использующие натурное испытание физического объекта для получения высокой достоверности о его характеристиках; оптимизационные , связанные с нахождением оптимальных показателей системы (например, нахождение минимальных затрат или определение максимальной прибыли).
По наличию случайных воздействий на систему модели делятся на детерминированные (в системах отсутствуют случайные воздействия) и стохастические (в системах присутствуют вероятностные воздействия). Эти же модели некоторые авторы классифицируют по способу оценки параметров системы: в детерминированных системах параметры модели оцениваются одним показателем для конкретных значений их исходных данных; в стохастических системах наличие вероятностных характеристик исходных данных позволяет оценивать параметры системы несколькими показателями.
Классификация случайных процессов по различным признакам рассматривалась в гл. 4. Наиболее общим является разделение случайных процессов на два класса: с непрерывным временем и с дискретным. Из этих классов случайных процессов, в общем нестационарных, можно выделить подклассы процессов, стационарных в широком смысле, стационарных в узком смысле, эргодических, с сильным перемешиванием (см. § 4.2). Другими признаками классификации были энергетические характеристики случайных процессов и связанного с ними свойства непрерывности и дифференцируемости (в среднеквадратическом, см. § 4.4, 4.5).
Каждый из указанных классов и подклассов представляет множество случайных процессов, управляемых различными распределениями вероятностей. Например, два стационарных в широком смысле случайных процесса, подчиняющихся двум совершенно различным двумерным функциям распределения и отображающих различные по физической природе явления, могут иметь совпадающие корреляционные функции или спектральные плотности мощности.
Полное вероятностное описание случайного процесса, которое назовем моделью случайного процесса, определяется последовательностью конечномерных функций распределения.
В этой главе рассматриваем несколько основных моделей случайных процессов, используемых при решении практических задач. Как отмечалось (см. п. 4.1.3), последовательность функций распределения по мере возрастания числа все более полно характеризует случайный процесс, причем функция содержит информацию о всех функциях распределения порядка но, вообще говоря, не наоборот. Однако вопреки этому общему положению существуют некоторые специальные виды случайных процессов, для которых одномерная и/или двумерная функции распределения позволяют определить последовательность функций сколь угодно большого порядка.
Этим замечательным свойством обладают случайные процессы, модели которых более подробно исследуются далее.
5.1.2. Детерминированный процесс.
Если множество реализаций процесса состоит из одной реализации, появляющейся с вероятностью единица, то такой процесс называют детерминированным. Полное и единственное описание детерминированного процесса представляется заданной функцией времени t.
Этот процесс можно рассматривать как вырожденный случайный процесс, функция распределения которого - единичный скачок при т. е.
[см. (2.7)]. Ясно, что среднее значение детерминированного процесса равно , а дисперсия равна нулю.
Заметим, что сумма стационарного случайного процесса и детерминированного процесса является процессом нестационарным, так как Однако эта нестациоиарность проявляется только в изменяющемся во времени среднем значении процесса и может быть при необходимости исключена на некоторых этапах решения задачи путем центрирования.
5.1.3. Квазидетерминированные случайные процессы.
Квазидетерминированный процесс представляется совокупностью функций времени заданного вида зависящих от случайного параметра Ф (вообще говоря, векторного), принимающего значения из подмножества 0 евклидового пространства параметров. Каждому возможному значению случайной величины соответствует одна реализация квазидстерминированного пропроцесса.
Простейшим примером квазидетерминированного процесса является гармонический сигнал со случайными амплитудами, частотой и фазой (см. п. 4.2.3 и 4.2.7). При равномерно распределенной фазе и постоянной частоте этот сигнал стационарен в узком смысле, а при тех же условиях и при постоянной амплитуде - эргодичеокий (см. также задачу 5.1). Другим примером квазидетерминированного процесса служит случайный процесс (4.120), который при определенных условиях, сформулированных в п. 4.4.3, стационарен в широком смысле и характеризуется дискретным спектром средней мощности.
Нестационарным квазидетерминированным процессом является процесс, описываемый полиномом по переменной t со случайными коэффициентами
который используется в качестве математической модели траектории полетов летательных аппаратов.
Квазидетерминированными являются также импульсные случайные процессы - последовательность импульсов заданной формы, параметры которых амплитуда, длительность, момент возникновения являются случайными величинами (см. § 5.5).
Докажем, что конечномерное распределение любого порядка квазидетерминированного процесса полностью определяется его одномерным распределением. Пусть стало известно значение процесса в момент времени , где - скалярный случайный параметр.
Обозначая через функцию, обратную относительно параметра , получаем . Тогда в любой момент значение процесса
По правилу умножения находим выражение многомерной плотности вероятности квазидетерминированного процесса
где - одномерная плотность вероятности квазидетерминированного процесса, которая, как нетрудно убедиться, связана с плотностью вероятности случайного параметра соотношением
Приведенное доказательство можно распространить и на квазидетерминированный процесс, зависящий от векторного параметра.
5.1.4. Случайные процессы с независимыми значениями.
Еще одним классом случайных процессов, для которого вся вероятностная информация содержится в одномерном распределении, являются процессы с независимыми значениями в несовпадающие моменты времени. Для любой последовательности случайные величины независимы в совокупности. Поэтому многомерная функция распределения случайного процесса с независимыми значениями факторизуется, т. е. равна произведению одномерных функций распределения в заданные моменты времени
Из (5.3) следуют также аналогичные соотношения для многомерных плотностей вероятности и характеристических функций случайных процессов с независимыми значениями
Следует отличать процессы с независимыми значениями от процессов с некоррелированными значениями, у которых для любой пары несовпадающих моментов времени
Если одномерная функция распределения не зависит от времени, то процесс с независимыми значениями представляет случайную последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Эта последовательность эргодична (и, следовательно, стационарна в узком смысле).
5.1.5. Случайные процессы с независимыми приращениями.
Процесс называют случайными с независимыми приращениями, если для любой последовательности моментов времени случайные величины независимы. Любое конечномерное распределение процесса с независимыми приращениями определяется его одномерным распределением и распределением приращения, т. е. двумерным распределением. Более подробная характеристика указанного класса случайных процессов дана в § 5.3.
Следует отличать процессы с независимыми приращениями от процессов с некоррелированными приращениями, для которых приращения процесса на непересекающихся интервалах некоррелированы.
5.1.6. Марковские случайные процессы.
Еще одной моделью случайного процесса, полное вероятностное описание которого дается распределением второго порядка, является марковский случайный процесс. Эта модель широко используется в приложениях теории случайных процессов.
Марковский процесс - процесс без последействия, что аналитически выражается следующим соотношением между условными функциями распределения случайного процесса:
Вводя обозначения условных функций распределения, перепишем (5.6) в виде
Соотношение (5.6) означает, что будущее состояние и прошлые состояния марковского процесса при фиксированном настоящем состоянии независимы. Иными словами, будущие состояния связаны с прошлым только через фиксированное в данный момент времени состояние, в котором оказывается «закодировано» все прошлое марковского процесса. Более подробная характеристика марковских процессов дана в § 5.4.
Следует отличать марковский процесс от мартингала, для которого при
Аннотация: Первая тема имеет вводный, в основном, терминологический характер. Подробно раскрываются понятия модели и моделирования, их назначение как основного, а подчас, и единственного метода анализа и синтеза сложных систем и процессов. Дается обзор классификации моделей и моделирования, в некоторой мере упрощенный, но достаточный для полного уяснения сущности моделирования как вообще, так и математического в частности.
Сам по себе процесс моделирования в полной мере не формализован, большая роль в этом принадлежит опыту инженера. Но, тем не менее, рассматриваемый в теме процесс создания модели в виде шести этапов может стать основой для начинающих и с накоплением опыта может быть индивидуализирован.
Математическая модель , являясь абстрактным образом моделируемого объекта или процесса, не может быть его полным аналогом. Достаточно сходства в тех элементах, которые определяют цель исследования. Для качественной оценки сходства вводится понятие адекватности модели объекту и, в связи с этим, раскрываются понятия изоморфизма и изофункционализма. Формальных приемов, позволяющих автоматически, "бездумно", создавать адекватные математические модели, нет. Окончательное суждение об адекватности модели дает практика, то есть сопоставление модели с действующим объектом. И, тем не менее, усвоение всех последующих тем пособия позволит инженеру справляться с проблемой обеспечения адекватности моделей.
Завершается тема изложением требований к моделям, которые были сформулированы Р. Шенноном на заре компьютерного моделирования тридцать лет назад в книге " Имитационное моделирование систем - искусство и наука". Актуальность этих требований сохраняется и в настоящее время.
1.1. Общее определение модели
Практика свидетельствует: самое лучшее средство для определения свойств объекта - натурный эксперимент , т. е. исследование свойств и поведения самого объекта в нужных условиях. Дело в том, что при проектировании невозможно учесть многие факторы, расчет ведется по усредненным справочным данным, используются новые, недостаточно проверенные элементы (прогресс нетерпелив!), меняются условия внешней среды и многое другое. Поэтому натурный эксперимент - необходимое звено исследования. Неточность расчетов компенсируется увеличением объема натурных экспериментов, созданием ряда опытных образцов и "доводкой" изделия до нужного состояния. Так поступали и поступают при создании, например, телевизора или радиостанции нового образца.
Однако во многих случаях натурный эксперимент невозможен.
Например, наиболее полную оценку новому виду вооружения и способам его применения может дать война. Но не будет ли это слишком поздно?
Натурный эксперимент с новой конструкцией самолета может вызвать гибель экипажа.
Натурное исследование нового лекарства опасно для жизни человека.
Натурный эксперимент с элементами космических станций также может вызвать гибель людей.
Время подготовки натурного эксперимента и проведение мероприятий по обеспечению безопасности часто значительно превосходят время самого эксперимента. Многие испытания, близкие к граничным условиям, могут протекать настолько бурно, что возможны аварии и разрушения части или всего объекта.
Из сказанного следует, что натурный эксперимент необходим, но в то же время невозможен либо нецелесообразен.
Выход из этого противоречия есть и называется он " моделирование ".
Моделирование - это замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала.
Отсюда следует.
Моделирование - это, во-первых, процесс создания или отыскания в природе объекта, который в некотором смысле может заменить исследуемый объект . Этот промежуточный объект называется моделью . Модель может быть материальным объектом той же или иной природы по отношению к изучаемому объекту (оригиналу). Модель может быть мысленным объектом, воспроизводящим оригинал логическими построениями или математическими формулами и компьютерными программами.
Моделирование , во-вторых, это испытание , исследование модели. То есть, моделирование связано с экспериментом, отличающимся от натурного тем, что в процесс познания включается "промежуточное звено" - модель. Следовательно, модель является одновременно средством эксперимента и объектом эксперимента , заменяющим изучаемый объект .
Моделирование , в-третьих, это перенос полученных на модели сведений на оригинал или, иначе, приписывание свойств модели оригиналу. Чтобы такой перенос был оправдан, между моделью и оригиналом должно быть сходство, подобие .
Подобие может быть физическим, геометрическим, структурным, функциональным и т. д. Степень подобия может быть разной - от тождества во всех аспектах до сходства только в главном. Очевидно, модели не должны воспроизводить полностью все стороны изучаемых объектов. Достижение абсолютной одинаковости сводит моделирование к натурному эксперименту, о возможности или целесообразности которого было уже сказано.
Остановимся на основных целях моделирования .
Прогноз - оценка поведения системы при некотором сочетании ее управляемых и неуправляемых параметров. Прогноз - главная цель моделирования .
Объяснение и лучшее понимание объектов . Здесь чаще других встречаются задачи оптимизации и анализа чувствительности. Оптимизация - это точное определение такого сочетания факторов и их величин, при котором обеспечиваются наилучший показатель качества системы, наилучшее по какому-либо критерию достижение цели моделируемой системой. Анализ чувствительности - выявление из большого числа факторов тех, которые в наибольшей степени влияют на функционирование моделируемой системы. Исходными данными при этом являются результаты экспериментов с моделью.
Часто модель создается для применения в качестве средства обучения : модели-тренажеры, стенды, учения, деловые игры и т. п.
Моделирование как метод познания применялось человечеством - осознанно или интуитивно - всегда. На стенах древних храмов предков южно-американских индейцев обнаружены графические модели мироздания. Учение о моделировании возникло в средние века. Выдающаяся роль в этом принадлежит Леонардо да Винчи (1452-1519).
Гениальный полководец А. В. Суворов перед атакой крепости Измаил тренировал солдат на модели измаильской крепостной стены, построенной специально в тылу.
Наш знаменитый механик-самоучка И. П. Кулибин (1735-1818) создал модель одноарочного деревянного моста через р. Неву, а также ряд металлических моделей мостов. Они были полностью технически обоснованы и получили высокую оценку российскими академиками Л. Эйлером и Д. Бернулли. К сожалению, ни один из этих мостов не был построен.
Огромный вклад в укрепление обороноспособности нашей страны внесли работы по моделированию взрыва - генерал-инженер Н. Л. Кирпичев, моделированию в авиастроении - М. В. Келдыш, С. В. Ильюшин, А. Н. Туполев и др., моделированию ядерного взрыва - И. В. Курчатов, А.Д. Сахаров, Ю. Б. Харитон и др.
Широко известны работы Н. Н. Моисеева по моделированию систем управления. В частности, для проверки одного нового метода математического моделирования была создана математическая модель Синопского сражения - последнего сражения эпохи парусного флота. В 1833 году адмирал П. С. Нахимов разгромил главные силы турецкого флота. Моделирование на вычислительной машине показало, что Нахимов действовал практически безошибочно. Он настолько верно расставил свои корабли и нанес первый удар, что единственное спасение турок было отступление. Иного выхода у них не было. Они не отступили и были разгромлены.
Сложность и громоздкость технических объектов, которые могут изучаться методами моделирования, практически неограниченны. В последние годы все крупные сооружения исследовались на моделях - плотины, каналы, Братская и Красноярская ГЭС, системы дальних электропередач, образцы военных систем и др. объекты.
Поучительный пример недооценки моделирования - гибель английского броненосца "Кэптен" в 1870 году. В стремлении еще больше увеличить свое тогдашнее морское могущество и подкрепить империалистические устремления в Англии был разработан суперброненосец "Кэптен". В него было вложено все, что нужно для "верховной власти" на море: тяжелая артиллерия во вращающихся башнях, мощная бортовая броня, усиленное парусное оснащение и очень низкими бортами - для меньшей уязвимости от снарядов противника. Консультант инженер Рид построил математическую модель устойчивости "Кэптена" и показал, что даже при незначительном ветре и волнении ему грозит опрокидывание. Но лорды Адмиралтейства настояли на строительстве корабля. На первом же учении после спуска на воду налетевший шквал перевернул броненосец. Погибли 523 моряка. В Лондоне на стене одного из соборов прикреплена бронзовая плита, напоминающая об этом событии и, добавим мы, о тупоумии самоуверенных лордов Британского Адмиралтейства, пренебрегших результатами моделирования.
1.2. Классификация моделей и моделирования
Каждая модель создается для конкретной цели и, следовательно, уникальна. Однако наличие общих черт позволяет сгруппировать все их многообразие в отдельные классы, что облегчает их разработку и изучение. В теории рассматривается много признаков классификации, и их количество не установилось. Тем не менее, наиболее актуальны следующие признаки классификации :
- характер моделируемой стороны объекта;
- характер процессов, протекающих в объекте;
- способ реализации модели.
Тест по теме " Моделирование и формализация"
1. Что называется атрибутом объекта?
Представление объекта реального мира с помощью некоторого набора его характеристик, существенных для решения данной информационной задачи.
Абстракция предметов реального мира, объединяемых общими характеристиками и поведением.
Связь между объектом и его характеристиками.
Каждая отдельная характеристика, общая для всех возможных экземпляров
2. Выбор вида модели зависит от:
Физической природы объекта.
Предназначения объекта.
Цели исследования объекта.
Информационной сущности объекта.
3. Что такое информационная модель объекта?
Материальный или мысленно представляемый объект, замещающий в процессе исследования исходный объект с сохранением наиболее существенных свойств, важных для данного исследования.
Формализованное описание объекта в виде текста на некотором языке кодирования, содержащем всю необходимую информацию об объекте.
Программное средство, реализующее математическую модель.
Описание атрибутов объектов, существенных для рассматриваемой задачи и связей между ними.
4. Укажите классификацию моделей в узком смысле слова:
Натурные, абстрактные, вербальные.
Абстрактные, математические, информационные.
Математические, компьютерные, информационные.
Вербальные, математические, информационные
5. Целью создания информационной модели является:
Обработка данных об объекте реального мира с учетом связи между объектами.
Усложнение модели, учитывая дополнительные факторы, которые были ранее проинформированы.
Исследование объектов, основанное на компьютерном экспериментировании с их математическими моделями.
Представление объекта в виде текста на некотором искусственном языке, доступном компьютерной обработке.
6. Какая модель является статической (описывающей состояние объекта)?
Формула равноускоренного движения
Формула химической реакции
Формула химического соединения
Второй закон Ньютона.
7. Формализация - это
Этап перехода от содержательного описания связей между выделенными признаками объекта к описанию, использующему некоторый язык кодирования.
Замена реального предмета знаком или совокупностью знаков.
Переход от нечетких задач, возникающих в реальной действительности, к формальным информационным моделям.
Выделение существенной информации об объекте.
8. Информационной технологией называется
Процесс, определяемый совокупностью средств и методов обработки, изготовления, изменения состояния, свойств, формы материала.
Изменение исходного состояния объекта.
Процесс, использующий совокупность средств и методов обработки и передачи первичной информации нового качества о состоянии объекта, процесса или явления.
Совокупность определенных действий, направленных на достижение поставленной цели.
9. Материальной моделью является:
1. Анатомический муляж;
2. Техническое описание компьютера;
3. Рисунок функциональной схемы компьютера;
4. Программа на языке программирования.
10. Что такое компьютерная информационная модель?
Представление объекта в виде теста на некотором искусственном языке, доступном компьютерной обработке.
Совокупность информации, характеризующая свойства и состояние объекта, а также взаимосвязь с внешним миром.
Модель в мысленной или разговорной форме, реализованная на компьютере.
Метод исследования, связанный с вычислительной техникой.
11. Компьютерный эксперимент состоит из последовательности этапов:
Выбор численного метода - разработка алгоритма - исполнение программы на компьютере.
Построение математической модели - выбор численного метода - разработка алгоритма - исполнение программы на компьютере, анализ решения.
Разработка модели - разработка алгоритма - реализация алгоритма в виде программного средства.
Построение математической модели - разработка алгоритма - исполнение программы на компьютере, анализ решения.
№ вопроса
№ ответа