Равновесие твердого тела при наличии трения качения. Равновесие при наличии сил трения Коэффициент трения покоя

то задача становится статически неопределимой (для ее решения необходимо привлечь какие-либо соображения, выходящие за рамки наших представлений о твердых телах).

Пример 1.16 . На шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол = 30° с горизонтальной плоскостью, находится тело весом Р = 20 Н (рис. 1.53,а). Тело удерживается на плоскости тросом АВ, весом которого можно пренебречь. Определить силу трения Т между телом и плоскостью и минимальное натяжение троса при двух значениях коэффициента трения f 1 =0,8 и f 2 =0,2 .

На тело действуют четыре силы: активная сила – сила тяжести , сила трения , нормальная составляющая реакции плоскости и реакция троса (рис. 1.53,6). Введем систему координат и составим условия равновесия тела

∑F ix = Psin – T - S = 0; ∑F iy =N – Pcos = 0;

T ≤f ·N.

Отсюда найдем

S = Psin – T; N = Pcos ; T ≤ f · Pcos ,

Или, учитывая условия задачи,

S = 10-T ; T ≤ 17,3·f .

Для первого случая f 1 =0,8, поэтому будем иметь T≤ 13,8Н. При отсутствии троса (S = 0) получим T =10Н. Так как при этом условие Г<13,8Н не нарушается, то это означает, что при f 1 =0,8 тело будет находиться в равновесии за счет одной силы трения Т =10 Н.

Пусть теперь f 2 = 0,2. Тогда должно выполняться условие T≤ 17,3 · f 2 =3,46Н. При отсутствии троса (S = 0) это неравенство находится в противоречии с первым уравнением 10-T = 0. Это означает, что при отсутствии троса тело начало бы скользить вниз. Поэтому при f 2 = 0,2 сила трения достигает своего максимального значения, равного Т = 3,46 Н, а натяжение троса будет S =10-7 = 6,54 Н.

Итак, при f 1 =0,8: T =10Н, S =0;

при f 2 =0,2: T = 3,46Н, S =6,54Н.

Пример 1.17. На наклонной плоскости находится цилиндр (рис. 1.54). Найти, при каких углах наклона плоскости к горизонту цилиндр будет находиться в равновесии, если R – радиус цилиндра, f –коэффициент трения скольжения, δ – коэффициент трения качения, Р – вес цилиндра .

На цилиндр действуют: активная сила тяжести , нормальная сила реакции в точке контакта , касательная составляющая реакции в точке контакта (сила трения), пара сил с моментом трения качения M T (рис. 1.54).

Сначала нарушится неравенство (1.79), если же f < , то нарушится неравенство (1.78) и цилиндр начнет скользить.

Рассмотрим цилиндр (каток), покоящийся на горизонтальной плоскости, когда на него действует горизонтальная активная сила S; кроме нее, действуют сила тяжести Р, а также нормальная реакция N и сила трения Т (рис. 6.10, а). При достаточно малом модуле силы S цилиндр остается в покое. Но этот факт нельзя объяснить, если удовлетвориться введением сил, изображенных на рис. 6.10, а. Согласно этой схеме равновесие невозможно, так как главный момент всех сил, действующих на цилиндр МСz= –Sr, отличен от нуля, и одно из условий равновесия не выпол­няется. Причина этого несоответствия состоит в том, что мы представляем это тело абсолютно твердым и предполагаем касание цилиндра с по­верхностью происходящим по образующей. Для устранения отмечен­ного несоответствия теории с опытом необходимо отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и учесть, что в действительности цилиндр и плоскость вблизи точки С деформируются и существует некоторая площадь соприкосновения конечной ширины. Вследствие этого в ее правой части цилиндр прижимается сильнее, чем в левой, и полная реакция R приложена правее точки С (см. точку С1 на рис. 6.10, б). Полученная схема действующих сил статически удовле­творительна, так как момент пары (S,Т) может уравновеситься мо­ментом пары (N,Р). В отличие от первой схемы (рис. 6.10, а), к цилиндру приложена пара сил с моментом МT=Nh.(6.11). Этот момент называется моментом трения качения. h=Sr/, где h-расстояние от C до C1. (6.13). С увеличением модуля активной силы S растет расстоя­ние h. Но это расстояние связано с площадью поверхности контакта и, следовательно, не может неограниченно увеличиваться. Это зна­чит, что наступит такое состояние, когда увеличение силы S при­ведет к нарушению равновесия. Обозначим максимально возможную величину h буквой d. Величина d пропорциональна радиусу цилиндра и различна для разных материалов. Следовательно, если имеет место равновесие, то выполняется условие: h<=d.(6.14). d называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины. Условие (6.14) можно также записать в виде Мт<=dN, или, учитывая (6.12), S<=(d/r)N.(6.15). Очевидно, что максимальный момент трения качения MTmax=dN пропорционален силе нормального давления.

Коэффициент трения устанавливает пропорциональность между силой трения и силой нормального давления, прижимающей тело к опоре. Коэффициент трения является совокупной характеристикой пары материалов которые соприкасаются и не зависит от площади соприкосновения тел.

Виды трения

Трение покоя проявляется в том случае, если тело находившееся в состоянии покоя, приводится в движение. Коэффициент трения покоя обозначается μ0.

Трение скольжения проявляется при наличии движения тела, и оно значительно меньше трения покоя.

Сила трения качения зависит от радиуса катящегося предмета. В типичных случаях (при расчетах трения качения колес поезда или автомобиля), когда радиус колеса известен и постоянен, его учитывают непосредственно в коэффициенте трения качения μкач.

Определение коэффициента трения

Коэффициент трения можно определить экспериментально. Для этого помещают тело на наклонную плоскость, и определяют угол наклона при котором.

Модуль 2 состоит из 2-ух лекций в которых изучаются следующие вопросы:

1. Равновесие системы тел.
2. Расчет ферм.
3. Понятие о ферме.
4. Аналитический расчет плоских ферм.
5. Графический расчет плоских ферм.
6. Трение.
7. Законы трения скольжения.
8. Реакции шероховатых связей.
9. Угол трения.
10. Равновесие при наличии трения.
11. Трение качения и верчения.
12. Момент силы относительно центра как вектор.
13. Момент пары сил как вектор.
14. Момент силы относительно оси.
15. Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси.
16. Приведение пространственной системы сил к данному центру.
17. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил.
18. Задачи на равновесие тела под действием пространственной системы сил.
19. Центр тяжести твердого тела.
20. Координаты центров тяжести однородных тел.
21. Центры тяжести некоторых однородных тел.

Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для изучения динамики движении тел с учетом трения скольжения и трения качения, динамики движения центра масс механической системы, кинетических моментов, для решения задач в дисциплине «Сопротивление материалов».

Равновесие систем тел.

Статический расчет инженерных сооружений во многих случаях сводится к рассмотрению условий равновесия конструкции из системы тел, соединенных какими - нибудь связями. Связи, соединяющие части данной конструкции, будем называть внутренними, в отличие от внешних связей, скрепляющих конструкцию с телами, в нее не входящими (например, с опорами).

Если после отбрасывания внешних связей (опор) конструкция остается жесткой, то для нее задачи статики решаются как для абсолютно твердого тела.

Однако могут встречаться такие инженерные конструкции, которые после отбрасывания внешних связей не остаются жесткими. Примером такой конструкции является трехшарнирная арка (рис. 22). Если отбросить опоры А и В, то арка не будет жесткой: ее части могут поворачиваться вокруг шарнира С.

На основании принципа отвердевания система сил, действующих на такую конструкцию, должна при равновесии удовлетворять условиям равновесия твердого тела. Но эти условия, как указывалось, будучи необходимыми, не будут являться достаточными, поэтому из них нельзя будет определить всех неизвестных. Для решения задачи необходимо будет дополнительно рассмотреть равновесие какой-нибудь одной или нескольких частей конструкции.

Например, составляя условия равновесия для сил, действующих на трех шарнирную арку (см. рис. 22), мы получим три уравнения с четырьмя неизвестными XA, YA, XB, YB. Рассмотрев дополнительно условия равновесия левой (или правой) ее половины, мы получим еще три уравнения, содержащие два новых неизвестных ХC, YC, на рис. 22 не показанных. Решая полученную систему шести уравнений, найдем все шесть неизвестных.

Другой способ решения подобных задач состоит в том, что конструкцию сразу расчленяют на отдельные тела и составляют условия равновесия каждого из тел, рассматривая его как свободное. При этом реакции внутренних связей будут попарно равны по модулю и противоположны по направлению. Для конструкции из п тел, на каждое из которых действует произвольная плоская система сил, получится таким путем 3n уравнений, позволяющих найти Зn неизвестных (при других системах сил число уравнений соответственно изменится). Если для данной конструкции число всех реакций связей будет больше числа уравнений, в которые эти реакции входят, то конструкция будет статически неопределимой.

Расчет ферм.

Понятие о ферме. Аналитический расчет плоских ферм.

Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферма называется плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней по узлам. Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложенные к его концам, которые при равновесии могут быть направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм, без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фермах число стержней k и число узлов п связаны соотношением

Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее стержнях.

Опорные реакции можно найти обычными методами статики, рассматривая ферму в целом как твердое тело. Перейдем к определению усилий в стержнях.

Метод вырезания узлов. Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов фермы. Ход расчетов поясним на конкретном примере.

Рассмотрим изображенную на рис. 2З,а ферму, образованную из одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников; действующие на ферму силы параллельны оси х и равны: F1 = F2 = F3 = F = 2.

В этой ферме число узлов n = 6, а число стержней k = 9. Следовательно, соотношение выполняется и ферма является жесткой, без лишних стержней.

Составляя уравнения равновесия для фермы в целом, найдем, что реакции опор направлены, как показано на рисунке, и численно равны;

Переходим к определению усилий в стержнях.

Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами, а стержни - арабскими. Искомые усилия будем обозначать S1 (в стержне 1), S2 (в стержне 2) и т. д. Отрежем мысленно все узлы вместе со сходящимися в них стержнями от остальной фермы. Действие отброшенных частей стержней заменим силами, которые будут направлены вдоль соответствующих стержней и численно равны искомым усилиям S1, S2, ... Изображаем сразу все эти силы на рисунке, направляя их от узлов, т. е. считая, все стержни растянутыми (рис. 23, а; изображенную картину надо представлять себе для каждого узла так, как это показано на рис. 23, б для узла III). Если в результате расчета величина усилия в каком-нибудь стержне получится отрицательной, это будет означать, что данный стержень не растянут, а сжат. Буквенных обозначений для сил, действующих вдоль стержней, ни рис. 2З не вводам, поскольку ясно, что силы, действующие вдоль стержня 1, равны численно S1, вдоль стержня 2 - равны S2 и т. д.

Теперь для сил, сходящихся в каждом узле, составляем последовательно уравнения равновесия

Начинаем с узла 1, где сходятся два стержня, так как из двух уравнений равновесия можно определить только два неизвестных усилия.

Составляя уравнения равновесия для узла 1, получим

Отсюда находим

Теперь, зная S1, переходим к узлу II. Для него уравнения равновесия дают

Определив S4, составляем аналогичным путем уравнения равновесия сначала для узла III, а затем для узла IV. Из этих уравнений находим:

Наконец, для вычисления S9 составляем уравнение равновесия сил, сходящихся в узле V, проектируя их на ось By. Получим откуда

Второе уравнение равновесия для узла V и два уравнения для узла VI можно составить как поверочные. Для нахождения усилий в стержнях эти уравнения не понадобились, так как вместо них были использованы три уравнения равновесия всей фермы в целом при определении N, ХА, и YА.

Окончательные результаты расчета можно свести в таблицу:

Как показывают знаки усилий, стержень 5 растянут, остальные стержни сжаты; стержень 7 не нагружен (нулевой, стержень).

Наличие в ферме нулевых стержней, подобных стержню 7, обнаруживается сразу, так как если в узле, не нагруженном внешними силами, сходятся три стержня, из которых два направлены вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Этот результат получается из уравнения равновесия в проекции на ось, перпендикулярную к упомянутым двум стержням.

Если в ходе расчета встретится узел, для которого число неизвестных больше двух, то можно воспользоваться методом сечений.

Метод сечений (метод Риттера). Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности, для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилие, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т. е. считая стержни растянутыми (как и в методе вырезания узлов). Затем составляют уравнения равновесия, беря центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.

Графический расчет плоских ферм.

Расчет фермы методом вырезания узлов может производиться графически. Для этого сначала, определяют опорные реакции. Затем, последовательно отсекая от фермы каждый из ее узлов, находят усилия в стержнях, сходящихся в этих узлах, строя соответствующие замкнутые силовые многоугольники. Все построения проводятся в масштабе, который должен быть заранее выбран. Расчет начинают с узла, в котором сходятся два стержня (иначе не удастся определить неизвестные усилия).

В качестве примера рассмотрим ферму, изображенную на рис. 24, а. В этой ферме число узлов n =6, а число стержней k=9. Следовательно, соотношение выполняется и ферма является жесткой, без лишних стержней. Опорные реакции R4 и R5 для рассматриваемой фермы, изображаем наряду с силами F1, F2 и F3, как известные.

Определение усилий в стержнях начинаем с рассмотрения стержней, сходящихся в узле I (узлы нумеруем римскими цифрами, а стержни - арабскими). Мысленно отрезав от этих стержней остальную часть фермы, отбрасываем ее действие отброшенной части также мысленно заменяем силами S1 и S2, которые должны быть направлены вдоль стержней 1 и 2. Из сходящихся в узле I сил R5, S1 и S2 строим замкнутый треугольник (рис. 24, б). Для этого изображаем сначала в выбранном масштабе известную силу R5, а затем проводим через ее начало и конец прямые, параллельные стержням 1 и 2. Таким путем будут найдены силы S1 и S2, действующие на стержни 1 и 2. Затем рассматриваем равновесие стержней, сходящихся в узле II. Действие на эти стержни отброшенной части фермы мысленно заменяем силами S1’, S2, и S4, направленными вдоль соответствующих стержней; при этом сила S1 нам известна, так как по равенству действия и противодействия S1’ = -S1. Построив из сил, сходящихся в узле II, замкнутый треугольник (начиная с силы S1’), найдем величины S3 и S4 (в данном случае S4 = =0). Аналогично находятся усилия в остальных стержнях. Соответствующие силовые многоугольники для всех узлов показаны на рис. 24, б. Последний многоугольник (для узла VI) строится для проверки, так как все входящие в него силы уже найдены.

Из построенных многоугольников, зная масштаб, находим величины всех усилий. Знак усилия в каждом стержне определяется следующим образом. Мысленно вырезав узел по сходящимся в нем стержням (например, узел III), прикладываем к обрезам стержней найденные силы (рис. 25); сила, направленная от узла (S5 на рис. 25), растягивает стержень, а сила, направленная к узлу (S3’ и S6 на рис. 25) сжимает его.

Согласно принятому условию растягивающим усилиям приписываем знак «+», а сжимающим - знак «-». В рассмотренном примере (pиc. 25) стержни 1, 2, 3, 6, 7, 9 сжаты, а стержни 5, 8 растянуты.

Трение.

Законы трения скольжения.

Опыт показывает, что при стремлении двигать одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила сопротивления их относительному скольжению, называемая силой трения скольжения.

Возникновение трения обусловлено, прежде всего, шероховатостью поверхностей, создающей сопротивление перемещению, и наличием сцепления у прижатых друг к другу тел. Изучение всех особенностей явления трения представляет собою довольно сложную физико-механическую проблему, рассмотрение которой выходит за рамки курса теоретической механики.

В инженерных расчетах обычно исходят из ряда установленных опытным путем общих закономерностей, которые с достаточной для практики точностью отражают основные особенности явления трения. Эти закономерности, называемые законами трения скольжения при покое, можно сформулировать следующим образом:

Сила трения направлена в сторону, противоположную той, куда действующие силы стремятся сдвинуть тело.

Статический коэффициент трения - число отвлеченное; он определяется опытным путем и зависит от материала соприкасающихся тел и состояния поверхностей (характер обработки, температура, влажность, смазка и т. п.).

1. Величина предельной силы трения в довольно широких пределах не зависит от размеров соприкасающихся при трении поверхностей.

Объединяя вместе первый и второй законы, получаем, что при равновесии сила трения покоя (сила сцепления) или

Реакции шероховатых связей. Угол трения.

До сих пор при решении задач статики мы пренебрегали трением и считали поверхности связей гладкими, а их реакции направленными по нормалям к этим поверхностям. Реакция реальной (шероховатой) связи будет слагаться из двух составляющих: из нормальной реакции N и перпендикулярной к ней силы трения F. Следовательно, полная реакция R будет отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол. При изменении силы трения от нуля до Fпр сила R будет меняться от N до Rпр, а ее угол с нормалью будет расти от нуля до некоторого предельного значения φ0 (рис. 26). Наибольший угол φ0, который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью к поверхности, называется углом трения. Из чертежа видно, что

Так как , отсюда находим следующую связь между углом трения и коэффициентом трения:

При равновесии полная реакция R, в зависимости от сдвигающих сил, может проходить где угодно внутри угла трения. Когда равновесие становится предельным, реакция будет отклонена от нормали на угол φ0.

Если к телу, лежащему на шероховатой поверхности, приложить силу Р, образующую угол α с нормалью (рис. 27), то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие Рsinα будет больше (мы считаем , пренебрегая весом тела). Но неравенство , в котором , выполняется только при , т. е. при α>φ0. Следовательно, никакой силой, образующей с нормалью угол.

α, меньший угла трения 0, тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя. Этим объясняются известные явления заклинивания или самоторможения тел.

Равновесие при наличии трения.

Изучение равновесия тел с учетом трения сводится обычно к рассмотрению предельного положения равновесия, когда сила трения достигает своего наибольшего значения . При аналитическом решении задач реакцию шероховатой связи в этом случае изображают двумя составляющими N и , где . Затем составляют обычные условия равновесия статики, подставляют в них вместо величину и, решая полученные уравнения, определяют искомые величины.

Трение качения и верчения.

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса R и веса Р, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости. Приложим к оси катка силу Q (рис. 28, а), меньшую Fпр. Тогда в точке А возникает сила трения F, численно равная Q, которая будет препятствовать скольжению цилиндра по плоскости. Если считать нормальную реакцию N тоже приложенной в точке А, то она уравновесит силу Р, а силы Q и F образуют пару, вызывающую качение цилиндра. При такой схеме качение должно начаться, как видим, под действием любой, сколь угодно малой силы Q

Истинная же картина, как показывает опыт, выглядит иначе. Объясняется это тем, что фактически, вследствие деформаций тел, касание их происходит вдоль некоторой площадки АВ (рис. 28, б). При действии силы Q интенсивность давлений у края А убывает, а у края В возрастает. В результате реакция N оказывается смещенной в сторону действия силы Q. С увеличением Q это смещение растет до некоторой предельной величины k. Таким образом, в предельном положении на каток будут действовать пара (Qпр, F) с моментом QпрR и уравновешивающая ее пара (N, Р) с моментом Nk. Из равенства моментов находим QпрR = Nk или

Пока , каток находится в покое; при начинается качение.

Входящая в формулу линейная величина k называется коэффициентом трения качения. Измеряют величину k обычно в сантиметрах. Значение коэффициента k зависит от материала тел и определяется опытным путем.

Отношение k/R для большинства материалов значительно меньше статического коэффициента трения f0. Этим объясняется то, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением (колеса, катки, шариковые подшипники и т. п.).

Момент силы относительно центра как вектор.

Чтобы перейти к решению задач статики для системы сил, как угодно расположенных в пространстве, оказывается необходимым несколько уточнить и расширить ряд введенных ранее понятий. Начнем с понятия о моменте силы.

1. Изображение момента вектором. Момент силы F относительно центра О (см. рис. 29) как характеристика ее вращательного эффекта определяется следующими тремя элементами:

1. модулем момента, равным произведению модуля силы на плечо, т. е. Fh; 2) плоскостью поворота ОАВ, проходящей через линию действия силы F и центр О; 3) направлением поворота в этой плоскости. Когда все силы и центр О лежат в одной плоскости, необходимость задавать каждый раз плоскость поворота ОАВ отпадает, и момент можно определять как скалярную алгебраическую величину, равную ±Fh, где знак указывает направление поворота.

Но в случае сил, произвольно расположенных в пространстве, плоскости поворота у разных сил будут разными и должны задаваться дополнительно. Положение плоскости в пространстве можно задать, задав отрезок (вектор), перпендикулярный к этой плоскости. Если одновременно модуль этого вектора выбрать равным модулю момента силы и условиться направлять этот вектор так, чтобы его направление определяло направление поворота силы, то такой вектор полностью определит все три элемента, характеризующие момент данной силы относительно центра О.

Поэтому в общем случае момент mo(F) силы F относительно центра О (рис. 29) будем изображать приложенным в центре О вектором Мо, равным по модулю (в выбранном масштабе) произведению модуля силы F на плечо h и перпендикулярным к плоскости ОАВ, проходящей через центр О и силу F. Направлять вектор Мо будем в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, вектор Мо будет одновременно характеризовать модуль момента, плоскость поворота ОАВ, разную для разных сил, и направление поворота в этой плоскости. Точка приложения вектора Мо определяет положение центра момента.

1. Выражение момента силы с помощью векторного произведения. Рассмотрим векторное произведение ОА x F векторов ОА и F (рис. 29). По определению,

,

так как модуль вектора Мо тоже равен 2 пл. ∆ ОАВ. Направлен вектор (ОА x F) перпендикулярно к плоскости ОАВ, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение ОА с F (если их отложить от одной точки) видно против хода часовой стрелки, т. е., так же, как вектор Мо. Следовательно, векторы (ОА x F) и Мо совпадают и по модулю и по направлению и, как легко проверить, по размерности, т. е. оба эти вектора изображают одну и ту же величину. Отсюда

где вектор r =ОА называется радиусом-вектором точки А относительно центра О.

Таким образом, момент силы F относительно центра О равен векторному произведению радиуса вектора r =ОА, соединяющего центр О с точкой приложения силы А, на саму силу. Этим выражением момента силы бывает удобно пользоваться при доказательстве некоторых теорем.

Момент пары сил как вектор.

Действие пары сил на тело характеризуется: 1) величиной модуля момента пары, 2) плоскостью действия, 3) направлением поворота в этой плоскости. При рассмотрении пар, не лежащих в одной плоскости, для характеристики каждой из пар необходимо будет задать все эти три элемента. Это можно сделать, если условиться, по аналогии с моментом силы, изображать момент пары соответствующим образом, построенным вектором, а именно: будем изображать момент пары вектором т или М, модуль которого равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары,т. е. произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 30).

Как известно модуль момента пары равен моменту одной из ее сил относительно точки, где приложена другая сила, т. е. m = mB(F); по направлению же векторы этих моментов совпадают. Следовательно

.

Момент силы относительно оси.

Чтобы перейти к решению задач статики для случая произвольной пространственной системы сил, необходимо ввести еще понятие о моменте силы относительно оси.

Момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект, создаваемый силой, стремящейся повернуть тело вокруг данной оси. Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг некоторой оси z (рис. 31). Пусть на это тело действует сила F, приложенная в точке А. Проведем через точку А плоскость ху, перпендикулярную оси z, и разложим силу F на составляющие: Fz, параллельную оси z, и Fxy , лежащую в плоскости ху (Fxy является одновременно проекцией силы F на плоскости ху). Сила Fz, направленная параллельно оси z, очевидно, не может повернуть тело вокруг этой оси (она только стремится сдвинуть тело вдоль оси z). Весь вращательный эффект, создаваемый силой F, будет совпадать с вращательным эффектом ее составляющей Fxy. Отсюда заключаем, что

где символ mxy(F) обозначает момент силы F относительно оси z.

Для силы же Fxy, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси z, вращательный эффект измеряется произведением модуля этой силы на ее расстояние h от оси. Но этой же величиной измеряется момент силы Fxy относительно точки О, в которой ось z пересекается с плоскостью xу. Следовательно или, согласно предыдущему равенству,

.

В результате приходим к следующему определению: моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Из чертежа (рис. 32) видно, что при вычислении момента плоскость ху можно проводить через любую точку оcи z. Таким образом, чтобы найти момент силы относительно оси z (рис. 32) надо:

1. провести плоскость ху, перпендикулярную к оси z (в любом месте);
2. спроектировать силу F на эту плоскость и вычислить величину Fxy;
3. опустить из точки О пересечения оси с плоскостью перпендикуляр на направление Fxy и найти его длину h;
4. вычислить произведение Fxyh;
5. определить знак момента.

При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные случаи:

1. Если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как Fxy = 0).
2. Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент относительно оси также равен нулю (так как h = 0).

Объединяя оба случая вместе, заключаем, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

1. Если сила перпендикулярна к оси, то ее момент относительно оси равен произведению модуля силы на расстояние между силой и осью.

Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси.

Пусть на тело действует приложенная в точке А сила F (рис. 33). Проведем какую - нибудь ось z и возьмем на ней произвольную точку О. Момент силы F относительно центра О будет изображаться вектором М0 перпендикулярным плоскости ОАВ, причем по модулю

Проведем теперь через любую точку O1 на оси z плоскость ху, перпендикулярную к оси; проектируя силу F на эту плоскость, найдем

Но треугольник О1А1В1 представляет собою проекцию треугольника ОАВ на плоскость xy . Угол между плоскостями этих треугольников равен углу.между перпендикулярами к плоскостям, т. е. равен γ. Тогда, по известной геометрической формуле, .

Умножая обе части этого равенства на 2 и замечая, что удвоенные пощади треугольников О1А1В1 и ОАВ равны соответственно mz(F) и Мо, найдем окончательно:

.

Так как произведение дает проекцию вектора на ось z, то равенство можно еще представить в виде

В результате мы доказали, что между моментом силы относительно оси и ее моментом относительно какого-нибудь центра, лежащего на этой оси, существует следующая зависимость: момент силы F относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно любого центра, лежащего на оси.

Приведение пространственной системы сил к данному центру.

Полученные выше результаты позволяют решить задачу о приведении любой системы сил к данному центру. Эта задача, решается с помощью теоремы о параллельном переносе силы. Для переноса действующей на абсолютно твердое тело силы F из точки А (рис. 34, а) в точку О прикладываем в точке О силы F’ = F и F" = -F. Тогда сила F’ = F окажется приложенной в точке О и к ней будет присоединена пара (F, F") с моментом т, что можно показать еще так, как на рис. 34, б. При этом

Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил F1, F2, …, Fn (рис. 35, а). Выберем произвольную точку О за центр приведения и перенесем все силы системы в этот центр, присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил

F ’1 = F 1, F ’2 = F 2, …, F ’n =Fn .

приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны

m1 = m0(F1), m2 = m0(F2), …, mn = m0(Fn),

Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой R, приложенной в той же точке. При этом или, .

Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой или,

Как и в случае плоской системы, величина R, равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы; величина Мо, равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным моментом системы относительно этого центра.

Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом Мо, равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 35, б).

Векторы R и Mо обычно определяют аналитически, т. е. по их проекциям на оси координат.

Выражения для Rx, Ry, Rz нам известны.

Проекции вектора Мо на оси координат будем обозначать Mx, My, Mz. По теореме о проекциях суммы векторов на ось будет или,

Mx=My=Mz=0 или, когда действующие силы удовлетворяют условиям

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.

Задачи на равновесие тела под действием пространственной системы сил.

Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассматривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины.

Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).

Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат.

В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомендуется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматриваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси.

В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие (из которых одна параллельна какой-нибудь координатной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона.

Изучение равновесия тел с учетом трения сводится обычно к рассмотрению предельного положения равновесия, когда сила трения достигает своего наибольшего значения. При аналитическом решении задач реакцию шероховатой связи в этом случае изображают двумя составляющими N и, где. Затем составляют обычные условия равновесия статики, подставляют в них вместо величину и, решая полученные уравнения, определяют искомые величины.

Пример 1. Рассмотрим тело, имеющее вертикальную плоскость симметрии (рис.28). Сечение тела этой плоскости имеет форму прямоугольника. Ширина тела равна 2a .

К телу в точке С , лежащей на оси симметрии, приложена вертикальная сила и в точке А , лежащей на расстоянии от основания, горизонтальная сила. Реакция плоскости основания (реакция связи) приводится к нормальной реакции и силе трения. Линия действия силы неизвестна. Расстояние от точки С до линии действия силы обозначим x ().

Составим три уравнения равновесия:

Согласно закону Кулона, т.е. . (1)

Проанализируем полученные результаты:

Будем увеличивать силу.

Если, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет своей предельной величины, условие (1) превратится в равенство. Дальнейшее увеличение силы приведет к скольжению тела по поверхности.

Если, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет величины, условие (2) превратится в равенство. Величина x будет равна h . Дальнейшее увеличение силы приведет к тому, что тело станет опрокидываться вокруг точки B (скольжения не будет).

Пример 2. На какое максимальное расстояние а может подняться человек по лестнице, приставленной к стене (рис.29)? Если вес человека - Р , коэффициент трения скольжения между лестницей и стеной - , между лестницей и полом - .

Рассматриваем равновесие лестницы с человеком. Показываем силу, нормальные реакции и и добавляем силы трения: и. Полагаем, что человек находится на расстоянии, при большем значении которого начнётся движение лестницы. Составляем уравнения равновесия.

Подставив значения сил трения и решив систему уравнений, получи

Теперь можно определить и угол под которым надо поставить лестницу, чтоб добраться до стены. Полагая, получим, после преобразований

Заметим, что если равнодействующая всех активных сил (всех кроме реакций) направлена под углом (рис.30), то нормальная реакция, а сила трения. Для того, чтобы началось скольжение должно выполнятся условие. или. И так как , то. Значит угол должен быть больше угла. Следовательно, если сила действует внутри угла или конуса трения (), то как бы не была велика эта сила, скольжение тела не произойдёт. Такое условие называется условием заклинивания, самоторможения.

Мы рассмотрели скольжение твёрдых тел по поверхности. Но нередко встречается скольжение гибких тел по неплоской поверхности. Например, нежелательное проскальзывание в ременной передаче ремня по шкиву, или троса, каната, намотанного на неподвижный цилиндр.

Пример 3. Пусть имеется нить, перекинутая через неподвижную цилиндрическую поверхность (рис.31). За счёт сил трения натяжение левого и правого концов этой нити будут различными.

Рис. 31

Предположим, что нормальная реакция и сила трения распределяются равномерно по дуге контакта нити на цилиндре. Рассмотрим равновесие участка нити длиной. (рис.32). На левом конце этого участка натяжение, на правом. Составляем уравнения равновесия, проектируя силы на оси:

Так как угол - малая величина, то полагаем С учётом этого из уравнений находим и, так как, имеем или Интегрируя, получим. Или

Этот результат называется формулой Эйлера.

Например, если нить перекинута через неподвижный шкив и, а коэффициент трения, то отношение натяжений. А, обернув цилиндр один раз (), то есть можно удержать груз на другом конце нити силой почти в три раза меньшей веса тела.

Рассмотрим цилиндр (каток), покоящийся на горизонтальной плоскости, когда на него действует горизонтальная активная сила ; кроме нее, действуют силы тяжести , а также нормальная реакция и сила трения . Как показывает опыт, при достаточно малой величине силы цилиндр остается в покое. Но этот факт нельзя объяснить, если удовлетвориться введением сил, изображенных на рис. Согласно этой схеме равновесие невозможно, так как главный момент всех сил, действующих на цилиндр , отличен от нуля и одно из условий равновесия не выполняется.

Причина выявившегося несоответствия состоит в том, что в наших рассуждениях мы продолжаем пользоваться представлением об абсолютно твердом теле и предполагаем касание цилиндра с поверхностью, происходящим по образующей. Для устранения отмеченного несоответствия теории с опытом необходимо отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и учесть, что в действительности цилиндр и плоскость вблизи точки С деформируются и существует некоторая площадь соприкосновения конечной ширины. Вследствие этого в ее правой части цилиндр прижимается сильнее, чем в левой, и полная реакция приложена правее точки С (точка ).

Полученная теперь схема действующих сил статически удовлетворительна, так как момент пары может уравновеситься моментом пары . Считая деформацию малой, заменим эту систему сил системой, изображенной на рис. В отличие от первой схемы, к цилиндру приложена пара сил с моментом

. (6.11) Этот момент называется моментом трения качения .

Составим уравнения равновесия цилиндра:

Первые два уравнения дают , , а из третьего уравнения можно найти . Затем из (6.11) определяем расстояние между точками С и :

. (6.13) Как видно, с увеличением модуля активной силы растет расстояние . Но это расстояние связано с площадью поверхности контакта и, следовательно, не может неограниченно увеличиваться. Это значит, что наступит такое состояние, когда увеличение силы приведет к нарушению равновесия. Обозначим максимально возможную величину буквой . Экспериментально установлено, что величина пропорциональна радиусу цилиндра и различна для разных материалов.

Следовательно, если имеет место равновесие, то выполняется условие

Величина называется коэффициентом трения качения ; она имеет размерность длины.

Условие (6.14) можно также записать в виде

или, учитывая (6.12),

Очевидно, что максимальный момент трения качения пропорционален силе нормального давления.

В справочных таблицах приводится отношение коэффициента трения качения к радиусу цилиндра для различных материалов.

Задача 6.8. На наклонной плоскости находится цилиндр. Найти, при каких углах наклона плоскости к горизонту цилиндр будет находиться в равновесии, если – радиус цилиндра, – коэффициент трения скольжения, – коэффициент трения качения. , то нарушится неравенство (6.16) и цилиндр начнет скользить.