Теорема о кольце операторных многочленов. Конечные поля, основанные на кольцах многочленов

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Многочлены от одной переменной над полем

Многочлены

Многочлен от x с коэффициентами в поле k - это выражение вида

$p = p_m x^m + p_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + p_1 x + p_0,$

где p 0 , …, p m - элементы k , коэффициенты p , а x , x 2 , … - формальные символы («степени x »). Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий с алгебраическими выражениями (коммутативность сложения, дистрибутивность, приведение подобных членов и т. д.). Члены p k x k с нулевым коэффициентом p k при записи обычно опускаются. Используя символ суммы, многочлены записывают в более компактном виде:

$p = p_m x^m + p_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + p_1 x + p_0 = \sum_{k=0}^m p_k x^k.$

Кольцо многочленов k[x]

Легко видеть, что множество всех многочленов с коэффициентами в K образует коммутативное кольцо , обозначаемое k [x ] и называемое кольцом многочленов над k . Символ x обычно называют «переменной», эта терминология возникла из рассмотрения полиномиальных функций над R или над C . Однако в общем случае многочлены и полиномиальные функции - это разные вещи; например, над конечным полем $\mathbb F_p$ из простого числа элементов многочлены $x$ и $x^p$ задают одну и ту же функцию, но это разные многочлены (многочлены считаются равными тогда и только тогда, когда у них совпадают все коэффициенты). Следовательно, переменную x нельзя считать принадлежащей полю k ; о кольце k [x ] можно думать так: мы добавляем во множество элементов поля новый элемент x и требуем только того, чтобы выполнялись аксиомы кольца и чтобы x коммутировал с элементами поля.

Поскольку элементы кольца многочленов можно умножать на «скаляры» из поля k , оно фактически является ассоциативной алгеброй над полем k . Если рассматривать k [x ] как векторное пространство (то есть «забыть» об умножении), оно имеет бесконечный базис из элементов 1, x , x 2 и т. д.

Разложение на простые в k [x ]

Факторкольца k [x ]

L \simeq k[x]/(p).

Важный частный случай - когда кольцо, содержащее k , само является полем; обозначим его K . Простота фактормодуля по $(p)$ равносильна неприводимости $p$ . Теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение может быть порождено одним элементом, и, следовательно, имеет вид фактора кольца многочленов над меньшим полем по неприводимому многочлену. В качестве примера можно привести поле комплексных чисел , которое порождено над R элементом i , таким что i 2 + 1 = 0 . Соответственно, многочлен x 2 + 1 неприводим над R и

$\mathbb{C} \simeq \mathbb{R}[x]/(X^2+1).$

Более общо, для произвольного (даже некоммутативного) кольца A , содержащего k и элемента a кольца A , коммутирующего со всеми элементами k , существует единственный гомоморфизм колец из k [x ] в A , отправляющий x в a :

$\phi: k[x]\to A, \quad \phi(x)=a.$

Существование и единственность такого гомоморфизма выражается с помощью определенного универсального свойства кольца многочленов и объясняет определенную «уникальность» кольца многочленов в различных конструкциях теории колец и коммутативной алгебры .

Модули

Кольцо многочленов от нескольких переменных

Определение

Многочлен от n переменных X 1 ,…, X n с коэффициентами в поле K определяется аналогично многочлену от одной переменной, но обозначения становятся более сложными. Для любого мультииндекса α = (α 1 ,…, α n ), где каждое α i - ненулевое целое число, пусть

$X^\alpha = \prod_{i=1}^n X_i^{\alpha_i} =
X_1^{\alpha_1}\ldots X_n^{\alpha_n}, \quad
p_\alpha = p_{\alpha_1\ldots\alpha_n}\in\mathbb{K}.\$

X α называется одночленом степени $|\alpha| = \sum_{i=1}^n \alpha_i$ . Многочлен - это конечная линейная комбинация одночленов с коэффициентами в K : $\sum_\alpha p_\alpha X^\alpha$ .

Многочлены от n переменных с коэффициентами в поле k (с обычными операциями сложения и умножения) образуют коммутативное кольцо, обозначаемое k [x 1 ,…, x n ]. Это кольцо можно получить многократным применением операции «взятие кольца многочленов над данным кольцом». Например, k [x 1 , x 2 ] изоморфно k [x 1 ][x 2 ], как и k [x 2 ][x 1 ]. Это кольцо игрет фундаментальную роль в алгебраической геометрии . Многие результаты коммутативной алгебры были достигнуты благодаря изучению идеалов этого кольца и модулей над ним.

Теорема Гильберта о нулях

Несколько фундаментальных результатов, касающихся взаимосвязи между идеалами кольца k [x 1 ,…, x n ] и алгебраическими подмногообразиями k n известны под общим именем теоремы Гильберта о нулях.

(слабая форма, алгебраически замкнутое поле ) Пусть k - алгебраически замкнутое поле . Тогда любой максимальный идеал m кольца k [x 1 ,…, x n ] имеет вид

m = (x_1-a_1, \ldots, x_n-a_n), \quad a = (a_1, \ldots, a_n) \in k^n.

(слабая форма, любое поле коэффициентов ) Пусть k - поле, K - алгебраически замкнутое поле , содержащее k и I - идеал в кольце k [x 1 ,…, x n ]. Тогда I содержит 1 в том и только в том случае, когда многочлены из I не имеют общего нуля в K n .
(сильная форма ) Пусть k - поле, K - алгебраически замкнутое поле , содержащее k , I - идеал в кольце k [x 1 ,…, x n ] и V (I ) - алгебраическое подмногообразие, K n определенное I . Пусть f - многочлен, равный нулю во всех точках V (I ). Тогда некоторая степень f принадлежит идеалу I .

Если использовать определение радикала идеала , эта теорема утверждает, что f принадлежит радикалу I . Немедленное следствие из этой формы теоремы - существование биективного соответствия между радикальными идеалами K [x 1 ,…, x n ] и алгебраическими подмногообразиями n -мерного аффинного пространства K n .

См. также

Напишите отзыв о статье "Кольцо многочленов"

Литература

Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag - ISBN 978-0-387-95385-4 , MR1878556
Osborne, M. Scott (2000), Basic homological algebra , vol. 196, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , , ISBN 978-0-387-98934-1

Отрывок, характеризующий Кольцо многочленов

– Куда головой лежит? – спросил Николай, подъезжая шагов на сто к подозрившему охотнику. Но не успел еще охотник отвечать, как русак, чуя мороз к завтрашнему утру, не вылежал и вскочил. Стая гончих на смычках, с ревом, понеслась под гору за зайцем; со всех сторон борзые, не бывшие на сворах, бросились на гончих и к зайцу. Все эти медленно двигавшиеся охотники выжлятники с криком: стой! сбивая собак, борзятники с криком: ату! направляя собак – поскакали по полю. Спокойный Илагин, Николай, Наташа и дядюшка летели, сами не зная как и куда, видя только собак и зайца, и боясь только потерять хоть на мгновение из вида ход травли. Заяц попался матёрый и резвый. Вскочив, он не тотчас же поскакал, а повел ушами, прислушиваясь к крику и топоту, раздавшемуся вдруг со всех сторон. Он прыгнул раз десять не быстро, подпуская к себе собак, и наконец, выбрав направление и поняв опасность, приложил уши и понесся во все ноги. Он лежал на жнивьях, но впереди были зеленя, по которым было топко. Две собаки подозрившего охотника, бывшие ближе всех, первые воззрились и заложились за зайцем; но еще далеко не подвинулись к нему, как из за них вылетела Илагинская краснопегая Ерза, приблизилась на собаку расстояния, с страшной быстротой наддала, нацелившись на хвост зайца и думая, что она схватила его, покатилась кубарем. Заяц выгнул спину и наддал еще шибче. Из за Ерзы вынеслась широкозадая, чернопегая Милка и быстро стала спеть к зайцу.
– Милушка! матушка! – послышался торжествующий крик Николая. Казалось, сейчас ударит Милка и подхватит зайца, но она догнала и пронеслась. Русак отсел. Опять насела красавица Ерза и над самым хвостом русака повисла, как будто примеряясь как бы не ошибиться теперь, схватить за заднюю ляжку.
– Ерзанька! сестрица! – послышался плачущий, не свой голос Илагина. Ерза не вняла его мольбам. В тот самый момент, как надо было ждать, что она схватит русака, он вихнул и выкатил на рубеж между зеленями и жнивьем. Опять Ерза и Милка, как дышловая пара, выровнялись и стали спеть к зайцу; на рубеже русаку было легче, собаки не так быстро приближались к нему.
– Ругай! Ругаюшка! Чистое дело марш! – закричал в это время еще новый голос, и Ругай, красный, горбатый кобель дядюшки, вытягиваясь и выгибая спину, сравнялся с первыми двумя собаками, выдвинулся из за них, наддал с страшным самоотвержением уже над самым зайцем, сбил его с рубежа на зеленя, еще злей наддал другой раз по грязным зеленям, утопая по колена, и только видно было, как он кубарем, пачкая спину в грязь, покатился с зайцем. Звезда собак окружила его. Через минуту все стояли около столпившихся собак. Один счастливый дядюшка слез и отпазанчил. Потряхивая зайца, чтобы стекала кровь, он тревожно оглядывался, бегая глазами, не находя положения рукам и ногам, и говорил, сам не зная с кем и что.
«Вот это дело марш… вот собака… вот вытянул всех, и тысячных и рублевых – чистое дело марш!» говорил он, задыхаясь и злобно оглядываясь, как будто ругая кого то, как будто все были его враги, все его обижали, и только теперь наконец ему удалось оправдаться. «Вот вам и тысячные – чистое дело марш!»
– Ругай, на пазанку! – говорил он, кидая отрезанную лапку с налипшей землей; – заслужил – чистое дело марш!
– Она вымахалась, три угонки дала одна, – говорил Николай, тоже не слушая никого, и не заботясь о том, слушают ли его, или нет.
– Да это что же в поперечь! – говорил Илагинский стремянный.
– Да, как осеклась, так с угонки всякая дворняшка поймает, – говорил в то же время Илагин, красный, насилу переводивший дух от скачки и волнения. В то же время Наташа, не переводя духа, радостно и восторженно визжала так пронзительно, что в ушах звенело. Она этим визгом выражала всё то, что выражали и другие охотники своим единовременным разговором. И визг этот был так странен, что она сама должна бы была стыдиться этого дикого визга и все бы должны были удивиться ему, ежели бы это было в другое время.
Дядюшка сам второчил русака, ловко и бойко перекинул его через зад лошади, как бы упрекая всех этим перекидыванием, и с таким видом, что он и говорить ни с кем не хочет, сел на своего каураго и поехал прочь. Все, кроме его, грустные и оскорбленные, разъехались и только долго после могли притти в прежнее притворство равнодушия. Долго еще они поглядывали на красного Ругая, который с испачканной грязью, горбатой спиной, побрякивая железкой, с спокойным видом победителя шел за ногами лошади дядюшки.
«Что ж я такой же, как и все, когда дело не коснется до травли. Ну, а уж тут держись!» казалось Николаю, что говорил вид этой собаки.
Когда, долго после, дядюшка подъехал к Николаю и заговорил с ним, Николай был польщен тем, что дядюшка после всего, что было, еще удостоивает говорить с ним.

Когда ввечеру Илагин распростился с Николаем, Николай оказался на таком далеком расстоянии от дома, что он принял предложение дядюшки оставить охоту ночевать у него (у дядюшки), в его деревеньке Михайловке.
– И если бы заехали ко мне – чистое дело марш! – сказал дядюшка, еще бы того лучше; видите, погода мокрая, говорил дядюшка, отдохнули бы, графинечку бы отвезли в дрожках. – Предложение дядюшки было принято, за дрожками послали охотника в Отрадное; а Николай с Наташей и Петей поехали к дядюшке.
Человек пять, больших и малых, дворовых мужчин выбежало на парадное крыльцо встречать барина. Десятки женщин, старых, больших и малых, высунулись с заднего крыльца смотреть на подъезжавших охотников. Присутствие Наташи, женщины, барыни верхом, довело любопытство дворовых дядюшки до тех пределов, что многие, не стесняясь ее присутствием, подходили к ней, заглядывали ей в глаза и при ней делали о ней свои замечания, как о показываемом чуде, которое не человек, и не может слышать и понимать, что говорят о нем.
– Аринка, глянь ка, на бочькю сидит! Сама сидит, а подол болтается… Вишь рожок!
– Батюшки светы, ножик то…
– Вишь татарка!
– Как же ты не перекувыркнулась то? – говорила самая смелая, прямо уж обращаясь к Наташе.
Дядюшка слез с лошади у крыльца своего деревянного заросшего садом домика и оглянув своих домочадцев, крикнул повелительно, чтобы лишние отошли и чтобы было сделано всё нужное для приема гостей и охоты.
Всё разбежалось. Дядюшка снял Наташу с лошади и за руку провел ее по шатким досчатым ступеням крыльца. В доме, не отштукатуренном, с бревенчатыми стенами, было не очень чисто, – не видно было, чтобы цель живших людей состояла в том, чтобы не было пятен, но не было заметно запущенности.
В сенях пахло свежими яблоками, и висели волчьи и лисьи шкуры. Через переднюю дядюшка провел своих гостей в маленькую залу с складным столом и красными стульями, потом в гостиную с березовым круглым столом и диваном, потом в кабинет с оборванным диваном, истасканным ковром и с портретами Суворова, отца и матери хозяина и его самого в военном мундире. В кабинете слышался сильный запах табаку и собак. В кабинете дядюшка попросил гостей сесть и расположиться как дома, а сам вышел. Ругай с невычистившейся спиной вошел в кабинет и лег на диван, обчищая себя языком и зубами. Из кабинета шел коридор, в котором виднелись ширмы с прорванными занавесками. Из за ширм слышался женский смех и шопот. Наташа, Николай и Петя разделись и сели на диван. Петя облокотился на руку и тотчас же заснул; Наташа и Николай сидели молча. Лица их горели, они были очень голодны и очень веселы. Они поглядели друг на друга (после охоты, в комнате, Николай уже не считал нужным выказывать свое мужское превосходство перед своей сестрой); Наташа подмигнула брату и оба удерживались недолго и звонко расхохотались, не успев еще придумать предлога для своего смеха.
Немного погодя, дядюшка вошел в казакине, синих панталонах и маленьких сапогах. И Наташа почувствовала, что этот самый костюм, в котором она с удивлением и насмешкой видала дядюшку в Отрадном – был настоящий костюм, который был ничем не хуже сюртуков и фраков. Дядюшка был тоже весел; он не только не обиделся смеху брата и сестры (ему в голову не могло притти, чтобы могли смеяться над его жизнию), а сам присоединился к их беспричинному смеху.
– Вот так графиня молодая – чистое дело марш – другой такой не видывал! – сказал он, подавая одну трубку с длинным чубуком Ростову, а другой короткий, обрезанный чубук закладывая привычным жестом между трех пальцев.
– День отъездила, хоть мужчине в пору и как ни в чем не бывало!
Скоро после дядюшки отворила дверь, по звуку ног очевидно босая девка, и в дверь с большим уставленным подносом в руках вошла толстая, румяная, красивая женщина лет 40, с двойным подбородком, и полными, румяными губами. Она, с гостеприимной представительностью и привлекательностью в глазах и каждом движеньи, оглянула гостей и с ласковой улыбкой почтительно поклонилась им. Несмотря на толщину больше чем обыкновенную, заставлявшую ее выставлять вперед грудь и живот и назад держать голову, женщина эта (экономка дядюшки) ступала чрезвычайно легко. Она подошла к столу, поставила поднос и ловко своими белыми, пухлыми руками сняла и расставила по столу бутылки, закуски и угощенья. Окончив это она отошла и с улыбкой на лице стала у двери. – «Вот она и я! Теперь понимаешь дядюшку?» сказало Ростову ее появление. Как не понимать: не только Ростов, но и Наташа поняла дядюшку и значение нахмуренных бровей, и счастливой, самодовольной улыбки, которая чуть морщила его губы в то время, как входила Анисья Федоровна. На подносе были травник, наливки, грибки, лепешечки черной муки на юраге, сотовой мед, мед вареный и шипучий, яблоки, орехи сырые и каленые и орехи в меду. Потом принесено было Анисьей Федоровной и варенье на меду и на сахаре, и ветчина, и курица, только что зажаренная.

Далее будем рассматривать только многочлены с коэффициентами из области целостности K (кольцо без делителей нуля называют областью целостности), т. е. из кольца K, в котором произведение двух элементов может равняться нулю, если только один из сомножителей равен нулю. Это всегда будет подразумеваться, даже если не будет оговорено специально.

При произведении многочленов степени n и степени m старший член, как следует из формулы (2), равен (это коэффициент при). Так как в кольце нет делителей нуля, то и, значит, . Из нашего рассуждения следует также, что

Эта формула является уточнением неравенства (5) для случая, когда в кольце K нет делителей нуля. Формула (6) также справедлива и тогда, когда один из многочленов f(x), g(x) или они оба равны нулю. Итак, произведение двух ненулевых многочленов - ненулевой многочлен, поэтому справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Кольцо многочленов над областью целостности само является областью целостности.

Данное нами алгебраическое определение многочлена не содержит никакого упоминания о функциях. Тем не менее, с каждым многочленом над областью целостности K можно естественным образом связать функцию, которая определена на K и принимает значения в K.

Пусть - многочлен с коэффициентами из K. Для любого положим

где выражение в правой части понимается как результат операций в кольце K. Получаемый при этом элемент называется значением многочлена f(x) в точке x0. (Слово "точка" употребляется по аналогии со случаем, когда x0 можно представлять как точку действительной оси) Таким образом, каждому элементу x0 кольца K сопоставляется элемент f(x0) того же кольца и тем самым определяется функция на K со значениями в K.

Покажем, что сложение и умножение многочленов согласуются с обычными операциями, производимыми над функциями, когда складываются или, соответственно, перемножаются значения функций в каждой точке.

Рассмотрим два многочлена: , . Пусть h(x) = f(x) + g(x) - их сумма. Докажем, что h(x0) = =f(x0) + g(x0) для любого. В соответствии с формулой (1) = , где, что и требовалось доказать.

Пусть теперь - произведение многочленов f(x) и g(x). Докажем, что для любого. Перемножим равенства, . Пользуясь свойствами операций в кольце K (в частности, коммутативностью и ассоциативностью умножения), получим: , где. Сравнение полученного результата с формулой (2) позволяет сделать вывод, что.

Таким образом, функция, определяемая суммой (соответственно произведением) двух многочленов, есть сумма (соответственно произведение) функций, определяемых этими многочленами.

Вообще говоря, соответствие между многочленами и определяемыми ими функциями не является взаимно однозначным. Однако, если кольцо K бесконечно, то различным многочленам из кольца K [x] всегда соответствуют различные функции.

Глава XI. Многочлены.

Кольцо многочленов от одной переменной над

Ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей

Определение 1. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочленом над кольцом K от переменной x называется выражение вида , где a i ÎK , причем лишь конечное число элементов a i ≠0.

a i называется коэффициентом многочлена f (x ) при степени i.

Множество всех многочленов над кольцом K от переменной x обозначается K [x ].

Определение 2. Пусть f (x ) и g (x ) , где K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочлены f (x ) и g (x ) называются равными (алгебраически ), если соответственно равны их коэффициенты при одинаковых степенях x .

Определение 3. Нулевым многочленом называется многочлен, все коэффициенты которого равны 0, и обозначается 0=0(x ).

Определение 4. Пусть K - f (x ) , f (x )≠0(x ). Число n называется степенью многочлена f и обозначается deg f =n, если a n ≠0 и a i =0 при i >n.

По определению полагают, что степень нулевого многочлена равна , т.е. deg 0 (x ) .

Таким образом, если , то deg (deg ℕ {0}).

Согласно определению 2, добавляя или отбрасывая слагаемые с нулевыми коэффициентами, мы получаем многочлен, равный данному. Таким образом, всякий многочлен степени n может быть записан в виде

Тогда a 0 называется свободным или постоянным членом многочлена f (x ), a n - старшим коэффициентом многочлена f (x ).

Определение 5. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , , причем n ≥m.

Операции сложения и умножения многочленов из K [x ] определяются по правилам

Теорема 1 . Пусть K – ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда K [x ] относительно операций по правилам (1 ) и (2 ) – также является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей 1(x )= 1.

Доказательство. Проверим для K [x ] все аксиомы ассоциативно-коммутативного кольца с единицей.

1. K [x ]¹Æ, например, 0(x )Î K [x ], так как все его коэффициенты равны 0ÎK .

2. Операции «+» и «⋅» по правилам (1) и (2) являются алгебраическими на K [x ] (т.е. K [x ] замкнуто относительно этих операций). Действительно, пусть f (x )и g (x )Î K [x ], из формул (1) и (2) следует, что коэффициенты многочленов f (x )+g (x )и f (x )⋅g (x )получаются путем сложения и умножения коэффициентов f (x )и g (x ), т.е. элементов из K. В силу замкнутости кольца K относительно сложения и умножения, коэффициенты многочленов f (x )+g (x )и f (x )⋅g (x ) принадлежат K . То есть f (x )+g (x )ÎK [x ]и f (x )⋅g (x )Î K [x ].

3. [ x ], +> - абелева группа.

а) «+» ассоциативно на K [x ]: " f (x ),g (x ),h (x )ÎK [x ] (f (x )+g (x ))+h (x )=f (x )+(g (x )+h (x ))

б) «+» коммутативно на K [x ]: " f (x ),g (x )ÎK [x ] f (x )+g (x )=g (x )+f (x )

в) Существует 0(x )=0+0⋅x +0⋅x 2 +…+0⋅x n +… Î K [x ] такой, что " Î K [x ] : =

аналогично,

г) " Î K [x ] существует Î K [x ] такой, что

= 0+0⋅x +0⋅x 2 +…+0⋅x n = 0(x ). Аналогично = 0(x ).

4. В K [x ] выполняются дистрибутивные законы:

д) " f (x ),g (x ),h (x )ÎK [x ] (f (x )+g (x ))⋅h (x )=f (x )⋅h (x )+g (x )⋅h (x )

h (x ) ⋅ (f (x )+g (x )) =h (x )⋅f (x )+h (x )⋅g (x )

Таким образом, K [x ] – кольцо.

5. Покажем, что K [x ] – асcоциативно-коммутативное кольцо с 1.

е) «⋅» ассоциативно на K [x ]: " f (x ),g (x ),h (x )ÎK [x ] (f (x )⋅g (x ))⋅h (x )=f (x )⋅(g (x )⋅h (x ))

ж) «⋅» коммутативно на K [x ]: " f (x ),g (x )ÎK [x ] f (x )⋅g (x )=g (x )⋅f (x )

з) В K [x ]существует единичный многочлен 1(x )= 1+0⋅x +0⋅x 2 +…+0⋅x n +… Î K [x ]c коэффициентами b 0 =1, b i =0 для остальных i . " Î K [x ]

справедливость а), б), д), е), ж) следует из того, что операции «+» и «⋅» над многочленами сводятся к соответствующим операциям над их коэффициентами – элементами из K , а в кольце K «+» и «⋅» коммутативны, ассоциативны и выполняются дистрибутивные законы.

Теорема доказана.

Степень многочлена. Свойства степени многочлена

Теорема 2 . Пусть K – ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , . Тогда:

1) deg ( + max{deg , deg };

1. Кольцо многочленов над полем

Пусть – произвольное поле. Символом обозначают совокупность всех многочленов от переменной (всевозможных степеней), коэффициенты которых берутся из поля :

На этом множестве определены две операции: два многочлена можно сложить и перемножить по известным правилам. Операции сложения и умножения многочленов удовлетворяют аксиомам 1-7 и 9 поля (то есть всем, кроме восьмой). Как говорилось выше, такая совокупность объектов называется кольцом. Итак, – кольцо многочленов над полем .

Другим примером кольца является кольцо целых чисел . Оказывается, что основные свойства целых чисел являются следствиями аксиом 1-7, 9, и поэтому остаются справедливыми в любом кольце. В частности, перенесем на многочлены свойства целых чисел, связанные с делимостью. Степень многочлена будем обозначать .

Делимость многочленов

Говорят, что многочлен делится на многочлен , если можно найти такой многочлен , что . Говорят также, что делит и записывают это в виде .

Деление с остатком

Для любых двух многочленов и , можно найти такие многочлены и , что

Многочлены и могут быть найдены известным алгоритмом деления "уголком". Заметим, что вычисления упрощаются, если старший коэффициент делителя . Этого всегда можно добиться, вынося за скобки: . Здесь – делитель со старшим коэффициентом 1, a – новое частное, по которому, если необходимо, можно восстановить .

Для машинных вычислений удобна такая схема.

Вычислительная схема деления с остатком

(5)

Подставляя (4) и (5) в (3) и сравнивал коэффициенты при , получаем систему

. (6)

. (7)

Условие суммирования в этих суммах состоит в том, что индексы коэффициентов должны находиться в пределах от 0 до степени многочлена:

Следовательно, индекс суммирования должен изменяться в пределах

Например, при (6) принимает вид , то есть .

Если , то , следовательно,

так как . Заметим, что под знак суммы входят с индексами, большими , что дает возможность последовательно их вычислять. Таким образом, коэффициенты частного и остатка при делении двух многочленов можно найти по следующей схеме:

1°. Полагаем .

2°. Для вычисляем и полагаем

3°. Для вычисляем и полагаем

Утверждения о многочленах

Из формулы (3) деления с остатком вытекают известные факты о многочленах, для нас важно, что эти факты справедливы для кольца многочленов над произвольным полем.

1. Теорема 1 (Безу). Пусть и а произвольный элемент поля . Тогда остаток от деления на многочлен равен элементу .

Действительно, записывая (2.3) для данного случая, получаем

где многочлен нулевой степени, то есть элемент поля . Подставляя в это равенство , получаем .

2. Если , то есть – корень , то делится на .

Это прямо следует из 1.

3. Многочлен степени в любом поле имеет не более корней.

Следует из того, что после деления на степень многочлена уменьшается на 1.

4. Если многочлен делится на :

и частное снова делится на , то будет делиться на . В этом случае корень называется кратным. Определяя формальную производную многочлена как многочлен , нетрудно проверить, что все правила дифференцирования остаются в силе. Например, если

Следовательно, если кратный корень многочлена, то многочлен и его производная делятся на . Наоборот, если известно, что у многочлена и его производной нет общих делителей степени выше нулевой, то все корни многочлена различные.

2. Алгоритм Евклида

Наибольшим общим делителем двух многочленов и называется многочлен , такой что

2) если и , то .

Обозначение прежнее: .

Теорема 2. Если , то существуют многочлены и , такие что

Доказательство такое же, как для кольца целых чисел.

Замечание. Имеется некоторая неоднозначность в определении , она связана с тем, что если d(x) наибольший общий делитель многочленов и , а – произвольный ненулевой элемент поля , то многочлен так же будет удовлетворять условиям 1) и 2). Наоборот, если и , то многочлены и будут делить друг друга, а это возможно лишь в случае, когда , (). Таким образом, наибольший общий делитель двух многочленов над полем определен с точностью до множителя – элемента . Эту неоднозначность можно устранить, требуя чтобы старший коэффициент равнялся единице. Добавим в связи с этим к определению условие нормировки

3) старший коэффициент равен единице.

В кольце , можно применять алгоритм Евклида отыскания наибольшего общего делителя и его вычислительную схему, рассмотренную выше. Ограничимся примером.

Пример. В кольце найти наибольший общий делитель многочленов

И ,), и, следовательно, ; либо , тогда (с учетом условия нормировки в определении наибольшего общего делителя многочленов).

3. Кольцо многочленов над областью целостности.

Далее будем рассматривать только многочлены с коэффициентами из области целостности K (кольцо без делителей нуля называют областью целостности), т.е. из кольца K, в котором произведение двух элементов может равняться нулю, если только один из сомножителей равен нулю. Это всегда будет подразумеваться, даже если не будет оговорено специально.

При произведении многочленов степени n и степени m старший член, как следует из формулы (2), равен (это коэффициент при ). Так как в кольце нет делителей нуля, то и, значит, . Из нашего рассуждения следует также, что

Теорема 1. Кольцо многочленов над областью целостности само является областью целостности.

Пусть - многочлен с коэффициентами из K. Для любого положим

где выражение в правой части понимается как результат операций в кольце K. Получаемый при этом элемент называется значением многочлена f(x) в точке x0. (Слово "точка" употребляется по аналогии со случаем , когда x0 можно представлять как точку действительной оси.) Таким образом, каждому элементу x0 кольца K сопоставляется элемент f(x0) того же кольца и тем самым определяется функция на K со значениями в K.

Рассмотрим два многочлена: , . Пусть h(x) = f(x) + g(x) - их сумма. Докажем, что h(x0)= =f(x0) + g(x0) для любого . В соответствии с формулой (1) = , где , что и требовалось доказать.

Пусть теперь - произведение многочленов f(x) и g(x). Докажем, что для любого . Перемножим равенства , . Пользуясь свойствами операций в кольце K (в частности, коммутативностью и ассоциативностью умножения), получим: , где . Сравнение полученного результата с формулой (2) позволяет сделать вывод, что .

Вообще говоря, соответствие между многочленами и определяемыми ими функциями не является взаимно однозначным. Однако, если кольцо K бесконечно, то различным многочленам из кольца K[x] всегда соответствуют различные функции.

Об остатках (КТО). Теорема. Пусть – попарно взаимно простые числа, = , …, подобраны так, что 1, = , . Тогда решение системы, будет иметь вид: . Эта теорема лежит в основе метода ортогональных базисов при переводе из системы остаточных классов в позиционную систему счисления. Пусть основания системы остаточных классов; = = – объем диапазона системы. С выбором системы определяются ее...

4. Бинарные отношения. Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения. В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим...

X * y. Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: . Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля. Кольцом называется множество с двумя алгебраическими операциями R (+, *), если: 0. Обратимыми называют те элементы кольца R, которые имеют обратные относительно операции умножения, множество R в данном случае...

Работавших в области электротехники, заинтересовалась возможностью создания технологии хранения данных, обеспечивающей более экономное расходование пространства. Одним из них был Клод Элвуд Шеннон, основоположник современной теории информации. Из разработок того времени позже практическое применение нашли алгоритмы сжатия Хаффмана и Шеннона-Фано. А в 1977 г. математики Якоб Зив и Абрахам Лемпел...